习题 19, § 4

记号和约定是 Exer 的约定。 15. a) 证明如果$G$上的正有界测度$\mu$使得对于每个函数$f \in L^p(G, \beta)$（给定$p$，$1 \leq p < \infty$）关系$\mu * f \geq 0$局部几乎处处都意味着$f \geq 0$局部几乎处处，那么我们可以结论在以下每种情况下，$\mu$ 是点度量： $\alpha)$ $G$ 是紧致的； $\beta)$ $G$ 是离散的； $\gamma)$ $G$ 是阿贝尔的（使用 Exer.18）（*）。对于$p = +\infty$，同样的结论在没有对$G$补充假设的情况下也成立。 b) 令$\mu$为$G$的正有界测度，使得：$1^\circ$$\gamma(\mu)$是$L^1(G, \beta)$的满射自同态； $2^\circ$对于每个函数$f \in L^1(G, \beta)$，关系$\mu * f \geq 0$局部几乎无处不在意味着$f \geq 0$局部几乎无处不在。证明 $\mu$ 就是点的度量。 （观察到，对于每个函数 $g \in L^\infty(G, \beta)$，关系 $\overset{\vee}{\mu} * g \geq 0$ 局部几乎处处都意味着 $g \geq 0$ 局部几乎处处。）