习题 21, § 4

令$G$为局部紧致群，$\beta$为$G$的左哈尔测度；可以将 $L^1(G, \beta)$ 与子空间或 $\mathscr{M}^1(G)$ 进行规范地识别。 a) 记号 §3，Exer。 11、设$A$为$\mathscr{M}_{III}$的相对紧凑的子集、$B$子集的$L^1(G, \beta)$、$\mathscr{M}_{IV}$的相对紧凑。 证明$\mathscr{M}_{III} \times \mathscr{M}_{IV}$到$\mathscr{M}_{IV}$的映射$(\mu, \nu) \mapsto \mu * \nu$到限制到$A \times B$是连续的。 （首先证明，如果$A$和$B$是紧致的，则映射下的$A \times B$的像是紧致的；使用§3的Exer.10，以及准则$\alpha$） V, §5，埃克瑟。 15. 接下来要证明 $(\mu, \nu) \mapsto \mu * \nu$ 是连续的，请使用 Exer。 §3 的 11 c)。） b) 令$\mathscr{U}_s^\infty(G)$为有界数值函数在$G$上均匀连续的集合，对于左均匀结构。 用$\mathscr{T}_{II}$拓扑$\sigma(\mathscr{M}^1(G), \mathscr{U}_s^\infty(G))$表示，并用配备$\mathscr{T}_{II}$的$\mathscr{M}_{II}$空间$\mathscr{M}^1(G)$表示。 Taking $G = \mathbf{R}$, give an example of a sequence $(\mu_n)$ of measures on $G$ tending to 0 for $\mathscr{T}_{II}$ and a sequence $(f_n)$ of functions in $L^1(G, \beta)$, tending to 0 for $\mathscr{T}_{IV}$ (or, what comes to the same, for the topology $\sigma(L^1(G, \beta), L^\infty(G, \beta))$), such that the sequence $(\mu_n * f_n)$ does not tend to 0 for $\mathscr{T}_{IV}$ (take $f_n(t) = \sin nt$ in the interval $[0, \pi]$, $f_n(t) = 0$ elsewhere). c) Let $A$ be a relatively compact subset of $\mathscr{M}_{II}$, $B$ a subset of $L^1(G, \beta)$, relatively compact for the topology of the norm $\|f\|_1$. Show that 限制 to $A \times B$ of 映射 $(\mu, f) \mapsto \mu * f$ of $\mathscr{M}_{III} \times L^1(G, \beta)$ into $L^1(G, \beta)$ is continuous ($L^1(G, \beta)$ being equipped with its normed 空间拓扑). （约化到证明，对于$f \in \mathscr{H}(G)$，$\mathscr{M}_{II}$到$L^1(G, \beta)$的映射$\mu \mapsto \mu * f$在$A$是连续的。 利用$g \in L^\infty(G, \beta)$和$f \in \mathscr{H}(G)$、$g * f$对于左均匀结构一致连续的事实，首先证明$\mathscr{M}_{II}$到$\mathscr{M}_{IV}$的映射$\mu \mapsto \mu * f$是连续的。 接下来，使用 Exer。 20 a)，约化到证明，如果$C$是$L^1(G, \beta)$的子集，对于拓扑来说紧凑

(*) 对于例，其中 $\mu$ 不是点度量，且 $\mu * f \geq 0$ 蕴含 $f \geq 0$，请参阅 J.H.威廉姆森，Proc。爱丁堡数学。社会学会，11（1958/59），71-77。

σ(L^1(G, β), L^∞(G, β)) 且 h ∈ $\mathscr{K}(G)$, 映射 μ ↦ μ \* C 到 L^1(G, β) 的 h 是连续的，当 L^1(G, β) 配备其范数时空间拓扑。通过与 a) 中相同的推理，证明对此足以证明在此映射下 C 的像对于规范的空间拓扑是紧致的。为此，请使用 Šmulian 的定理，事实上 C 很狭窄（§3，Exer.10）和 Lebesgue 的定理。）

d) 设A为$\mathscr{P}_{II}$包含0的相对紧的子集，B为$\mathscr{P}_I$的相对紧的子集；表明对于每个 ν_0 ∈ B，映射 (μ, ν) ↦ μ \* $\mathscr{P}_{II}$ × $\mathscr{P}_I$ 到 $\mathscr{P}_{II}$ 的限制到 A × B 在点 (0, ν_0) 处连续。 （利用Exer.20a）和Exer.20a）。 21 c).)

e) 设 A 为 $\mathscr{P}^1$(G) 的有界子集，f 函数 in L^1(G, β)；证明映射 μ ↦ μ \* f 从 $\mathscr{P}_{III}$ 到 $\mathscr{P}_{IV}$ 的限制到 A 是连续的。

f) 令 $\mathscr{P}^1_+$(G) 为 G 上有界正测度的集合。 证明如果 $\mathscr{P}^1_+$(G) 的子集 A 对于 $\mathscr{P}_{II}$ 是紧致的，那么它对于 $\mathscr{P}_{III}$ 也是紧致的。 （约化到证明，A是一个狭窄的集合。 通过反证法进行论证，使用以下事实：对于 f ∈ $\mathscr{K}(G)$，A 在映射 μ ↦ μ \* f 下的像凭借 c) 是一个狭窄的集合。）

g) 证明对于 G = $\mathbf{R}$，$\mathscr{P}_{II}$ 和 $\mathscr{P}_{III}$ 在 $\mathscr{P}^1_+$(G) 上诱发的拓扑是不同的。