习题 22, § 4

记号是 Exer 的。 21 §4 和 Exer。 §3 中的 11 个。

a) 令 (μ_n) 为 G 上有界测度的序列。假设对于每个函数 f ∈ L^1(G, β)，序列 (μ_n \* f) 在 $\mathscr{P}_I$ 中收敛到 0。证明范数 (||μ_n||) 的序列是有界的（使用 Banach–Steinhaus 定理来表示映射 f ↦ μ_n \* f of L^1(G, β) 的族，以及 Exer.15）。由此推断序列 (μ_n) 在$\mathscr{P}_I$ 中趋于0（使用Exer.20）。

b) 令 (μ_n) 为 G 上有界测度的序列，使得对于每个函数 f ∈ L^1(G, β)，序列 (μ_n \* f) 模糊地趋于 0；表明序列 (μ_n) 模糊地趋向于 0（对于 G 的每个紧凑子集 K，表明，如 a）中那样论证，序列 (|μ_n|(K)) 是有界的）。给出例 （其中 G = $\mathbf{Z}$），其中序列 (||μ_n||) 无界。

c) 令 (μ_n) 为 G 上有界测度的序列，使得对于每个函数 f ∈ L^1(G, β)，序列 (μ_n \* f) 在 $\mathscr{P}_{II}$ 中收敛于 0；表明序列 (μ_n) 在 $\mathscr{P}_{II}$ 中收敛到 0（利用 a)）。