习题 28, § 4

令 $G_1, G_2$ 为两个局部紧凑群，$\beta_1, \beta_2$ $G_1, G_2$ 上的左 Haar 测度，以及 $A_1$（分别为 $A_2$）拓扑代数（超过 $\mathbf{R}$）$L^1(G_1, \beta_1)$（分别为 $L^1(G_2, \beta_2)$）。令$T$是$A_1$的代数同构到$A_2$，这样关系$f \geq 0$几乎处处都等价于$T(f) \geq 0$几乎处处。 a) 证明$T$是拓扑代数的同构。 （首先注，如果$A_1$的元素的递减序列$(f_n)$几乎处处趋于0，那么$T(f_n)$的序列也是如此；由此推论，对于上面有界的每个序列$(f_n)$ $A_1$、$T(\sup(f_n)) = \sup(T(f_n))$ 和结论在 Fatou 的引理的帮助下。） b) 证明$T$只能以一种方式扩展到拓扑代数$\mathscr{M}^1(G_1)$到拓扑代数$\mathscr{M}^1(G_2)$的同构，并且存在$G_1$的拓扑同构$u$ $G_2$和$G_1$的连续同态$\chi$进入$\mathbf{R}_+^*$，使得$T(\varepsilon_s) = \chi(s)\varepsilon_{u(s)}$（利用Exer.15a）和Exer。 19 b);为了证明$u$和$\chi$是连续的，请观察拓扑向量空间$A_1$的连续自同态的代数$\mathscr{L}(A_1)$的$T$定义同构到类似的情况代数$\mathscr{L}(A_2)$，并且这个同构对于逐点收敛的拓扑是双连续的；另一方面，观察$s \mapsto \delta(s^{-1})$ 是$G_1$ 的同构到$\mathscr{L}(A_1)$ 的乘法子群。

c) 从 b) 中推出，对于每个 $f \in A_1$，

对于所有$t \in G_2$。

回想一下（A，III, §2，Exer.9），存在有限群$G_1, G_2$，使得代数$L^1(G_1, \beta_1)$和$L^1(G_2, \beta_2)$同构的，而$G_1$和$G_2$同构的。