习题 4, § 2

假设$\mathbf{K}$是域。 (a) 验证是否存在 3 维李代数 $g$ 且基 $(x, y, z)$ 使得 $[x, y] = z, [x, z] = [y, z] = 0$。令$U$为$g$的包络代数。证明$U$的中心是由1和$z$生成的子代数。 （考虑，对于$g$的对称代数$S$的所有$\xi \in g$、推导，其中扩展$\mathrm{ad}_g \xi$，并寻找被这些推导消灭的$S$的元素；然后应用最终的注 / no. 8。） (b) 验证是否存在 3 维李代数 $g$ 与基 $(x, y, z)$ 使得 $[x, y] = y, [x, z] = z, [y, z] = 0$。证明中心是 $g$ 约化包络代数的标量。 （同样方法。）