习题 5, § 2

假设$\mathbf{K}$具有特征$p > 0$（$p$素的）。令$g$为$\mathbf{K}$之上的李代数和基，规范地用其包络代数$U$的子模来识别。为了使$\mathbf{K}$-模块$g$的自同态$\phi$成为$p$映射，$x \mapsto x^p - \phi(x)$是g到U的中心的半线性映射（对于λ↦λ^p）是必要且充分的。推导出如果(b_λ)是g 的基，对于 g 上存在 p 映射，对于所有 λ，存在 c_λ ∈ g 使得 (ad b_λ)^p = ad c_λ 是充分必要的；如果是这样，则存在且仅一个 p 映射 x ↦ x^{[p]} 使得对于所有 λ b_λ^{(p)} = c_λ。