习题 7, § 2

令 g 为环 K 上的李 p 代数，使得 pK = {0}（p 素的）。如果 D(x^p) = (ad x)^{p−1}，则 g 的推导 D 称为 p 导数。 Dx 对于所有 x ∈ g。每个内部推导都是 p 导数。

(a) 如果 L 是结合律 K-代数，则当 L 被视为李 p 代数时，L 的每个推导都是 p 导数。 （使用习题 19 中的公式 (2) 或 § 1。）

(b) 假设 g 有基。为了使 g 的推导成为 p 导数，它可以扩展到 g 的限制包络代数的推导是充分必要的。推导出 g 形式 g 的推导 p 代数的李 p 子代数。

(c) 如果 D 是 g 的 p 导数，则 D 的核是 g 的 p 子代数。

(d) 对于 g 的每个推导 D，D(x^p) − (ad x)^{p−1}。对于所有 x ∈ g，dx 属于到中心（使用 § 1 的习题 19 的公式 (2)，应用于 L = $\mathscr{L}(g)$）。