习题 9, § 2

令k为域，其中有两个元素，V向量空间$k^3$，$(x_1, x_2, x_3)$其典范基，K为V的外部代数，这是k上的8维交换代数。令 g 为谎言 K-代数承认基 $(e_1, e_2, e_3, e_{12}, e_{13}, e_{23})$ 使得

其他括号是零。令$\mathfrak{h}$为$u = x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3$生成的g的理想值。由于模、$\mathfrak{h}$由u、$[u, e_1] = x_2 e_{12} + x_3 e_{13}$、$[u, e_2] = x_1 e_{12} + x_3 e_{23}$、$[u, e_3] = x_1 e_{13} + x_2 e_{23}$生成。让 (a) 证明$v \notin \mathfrak{h}$。 （考虑 g 上的 K 线性形式 $\phi$ 使得 $\phi(e_1) = \phi(e_2) = \phi(e_3) = 0, \phi(e_{12}) = x_3, \phi(e_{13}) = x_2, \phi(e_{23}) = x_1.$） (b) 令 f 为 g 的线性映射到关联K-代数，使得对于 g 中的所有 x、y 为 $f([x, y]) = f(x) f(y) - f(y) f(x)$。显示$f(v) = f(u)^2$。 (c) 从 (a) 和 (b) 推断李代数 $g/\mathfrak{h}$ 的典范映射到其包络代数中不是单射的。