Bourbaki

习题 3, § 5

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李群与李代数, II, 194

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

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我们保留习题 2 中的记号。

(a) 令 J 为I 中包含的 K[F] 的右理想，令 u 为I 的元素。表明

u∈J.I⇔Dx(u)∈Jfor all x∈X. u \in J . I \Leftrightarrow D_x(u) \in J \quad \text{for all } x \in X.

特别是，I属于到InI^n（n⩾1n \geqslant 1）的元素当且仅当其所有偏导数属于到In−1I^{n-1}。

† 有关 DxD_x 的更多详细信息，请参阅 R. Fox，*Ann of Math.*，57 (1953)，第 547–560 页。

(b) 令 R 为 F 的正规子群，令 G = F/R，令 J 为典范同态 γ:K[F]→K[G]\gamma : K[F] \to K[G] 的核。证明 J 是由元素 r−1r - 1 生成的左（或右）理想，其中 r∈Rr \in R。证明序列的正确性

(*)

0⟶J/(J.I)→αI/(J.I)→βK[G]→δK⟶0, 0 \longrightarrow J/(J.I) \xrightarrow{\alpha} I/(J.I) \xrightarrow{\beta} K[G] \xrightarrow{\delta} K \longrightarrow 0,

其中 α\alpha 是通过将 J 包含在 I 中取商得出的，β\beta 是通过从 γ\gamma 的限制到 I 中取商得出。

(c) 对于u∈I,x∈Xu \in I, x \in X，令D‾x(u)\overline{D}_x(u)表示γ\gamma下K[G]K[G]中Dx(u)D_x(u)的像。使用 (a) 证明族 (D‾x)x∈X(\overline{D}_x)_{x \in X} 定义将 I/(J.I)I/(J.I) 的商同构代入 K[G]∞K[G]^{\infty}。

(d) 对于r∈Rr \in R，令θ(r)\theta(r)为J/(J.I)J/(J.I)中r−1r - 1的像。表明

θ(rr′)=θ(r)+θ(r′)andθ(ryr−1)=y.θ(r)for r,r′ in R,y∈F. \theta(rr') = \theta(r) + \theta(r') \quad \text{and} \quad \theta(ryr^{-1}) = y.\theta(r) \quad \text{for } r, r' \text{ in } R, y \in F.

（使用身份

rr′−1=(r−1)(r′−1)+(r−1)+(r′−1) rr' - 1 = (r - 1)(r' - 1) + (r - 1) + (r' - 1)
yry−1−1=y(r−1)(y−1−1)+y(r−1). yry^{-1} - 1 = y(r - 1)(y^{-1} - 1) + y(r - 1).
)

将R/(R,R)R/(R, R)的θ\theta定义同态推导为与G的作用兼容的J/(J.I)J/(J.I)，并表明该同态生成K-模J/(J.I)J/(J.I)的像；当K=ZK = \mathbf{Z}时，证明同构是由R/(R,R)R/(R, R)到J/(J.I)J/(J.I)得到的（定义直接是同态的逆）。

(e) 令 (rα)α∈A(r_\alpha)_{\alpha \in A} 为 R 生成的 R 的元素族，作为 F 的正规子群。证明θ(rα)\theta(r_\alpha) 生成 K[G]K[G]-模J/(J.I)J/(J.I)。

(f)矩阵(D‾x(rα))x∈X,α∈A(\overline{D}_x(r_\alpha))_{x \in X, \alpha \in A}定义同态

ρ:K[G](A)→K[G]∞ \rho : K[G]^{(A)} \to K[G]^{\infty}

剩余 K[G]K[G] 模块。显示序列

(**)

K[G](A)→ρK[G]∞→δK[G]→εK⟶0 K[G]^{(A)} \xrightarrow{\rho} K[G]^{\infty} \xrightarrow{\delta} K[G] \xrightarrow{\varepsilon} K \longrightarrow 0

是准确的，其中 δ\delta 是同态 (ux)↦∑x∈Xux(γ(x)−1)(u_x) \mapsto \sum_{x \in X} u_x(\gamma(x) - 1)。

（变换正合序列 (*) 使用上述 (c)、(d)、(e)。）†

解答

尚未写出解答。

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