习题 7, § 5

我们保留习题 6 中的记号。

(a) 令 G 为类 $<c$ 的幂零群，并令 $(i, \overline{G})$ 为 G 的 P 包络。令 $\rho : F^c \to G$ 为满同态（如果适当选择 X，则存在同态），并令 $\bar{\rho}$ 为将$F_P^c$的相应的同态转化为$\overline{G}$（§ 4，习题15）。 同态 $\bar{\rho}$ 是满射，映射 $C^n F_P^c = F_{P,n}^c$ 到$C^n \overline{G}$。证明$C^n \overline{G}$是$\overline{G}$中$i(C^n G)$的P包络，并且李代数$\mathrm{gr}(\overline{G})$与$\mathbf{Z}_P \otimes \mathrm{gr}(G)$相同。

(b) 推出 G 是 P-整除且 P-无扭转当且仅当 $C^n G/C^{n+1} G$ 是。