习题 23, § 1

我们保留 Exerc 的记号。 16. 令 $\mathrm{Aut}(A)$ 为公寓 $A$ 的自同构中的群。证明如果$\varphi \in \mathrm{Aut}(A)$，则$\varphi$排列$A$的墙，并为所有$t \in T$排列$\varphi t \varphi^{-1} \in T$（使用练习18）。推出$W$（与$\mathrm{Aut}(A)$的子群识别）是正常的，并且$\mathrm{Aut}(A)$是自同构的子群$E$的半直接乘积通过$W$保留室$C$。证明 Coxeter 系统 $(W, S)$ 的 $W$ 定义同构从 $E$ 到自同构的群的 $\mathrm{Aut}(A)$ 作用，或者到$(W, S)$（cf. 也是练习 19）。