习题 9, § 1

令 (W, S) 为具有矩阵 (m(s, s')) 的 Coxeter 系统，并令 W^+ 为偶数长度元素 W 由……组成子群。设 s_0 ∈ S。设 g_s = ss_0。证明族 (g_s)_{s ∈ S - {s_0}} 和关系 g_s^{m(s, s_0)} = 1 对于 m(s, s_0) ≠ ∞ 且 (g_s g_{s'}^{-1})^{m(s, s')} = 1 对于 s, s' ∈ S - {s_0} 和 m(s, s') ≠ ∞, 形式 W^+ 的表示。 （令 H^+ 为上述定义的群。证明 H^+ 存在自同构 α，以平方为恒等式，对于所有 s ∈ S - {s_0}，变换 g_s 到 g_s^{-1}。如果 H_α 是 {1, -1} 的半直接乘积且H^+，相对于 α，定义互逆同态 H_α → W 和 W → H_α。）证明如果 S 的元素是共轭（cf. 命题 3），则群 W^+ 是 W 的换位子子群 （注元素 g_s 则为换位子）。