习题 7, § 3

令$q(\xi_1, \ldots, \xi_n) = \sum_{i,j} a_{ij} \xi_i \xi_j$ ($a_{ij} = a_{ji}$) 为$\mathbf{R}^n$ 上的简并正二次形式，使得$a_{ij} \leqslant 0$ 对于$i \neq j$。假设 $\{1, 2, \ldots, n\}$ 中不存在划分 $I \cup J$，使得 $a_{ij} = 0$ 适合 $i \in I, j \in J$。

a) 表明，如果我们输入 $\xi_i = 0$，我们将获得关于 $\xi_1, \ldots, \xi_{i-1}, \xi_{i+1}, \ldots, \xi_n$ 的非简并正二次形式。

b) 证明对于所有 $i$ 都有 $a_{ii} > 0$。 （令$(\zeta_1, \ldots, \zeta_n)$为$q$的核的元素，以及$\zeta_1 > 0, \ldots, \zeta_n > 0$。使用等式$a_{1i} \zeta_1 + \cdots + a_{ni} \zeta_n = 0$。）

c) Show that if we replace one of the $a_{ij}$ by some $a'_{ij} < a_{ij}$, the new form is non-positive. (Use the equality $\sum_{i,j} a_{ij} \zeta_i \zeta_j = 0$.)