习题 8, § 3

令 $(a_{ij})$ 为实数对称矩阵，具有 $n$ 行和 $n$ 列。

a) 输入$s_k = \sum_{i=1}^n a_{ik}$。那么，对于所有$\xi_1, \ldots, \xi_n \in \mathbf{R}$，

b) 设 $\zeta_1, \ldots, \zeta_n \in \mathbf{R}^*$。把$\sum_i \zeta_i a_{ik} = t_k$。然后

（在a）中，替换$\xi_i$乘$\frac{\xi_i}{\zeta_i}$和$a_{ik}$乘$\zeta_i \zeta_k a_{ik}$。）

c) 如果存在数 $\zeta_1, \ldots, \zeta_n > 0$ 使得 $\sum_i \zeta_i a_{ik} = 0$ ($k = 1, 2, \ldots, n$)，并且如果 $a_{ij} \leqslant 0$ $i \neq j$，则二次方形式 $\sum_{i,k} a_{ik} \xi_i \xi_k$ 是退化且正的。 （使用 b）。）

d) 令 $\sum_{i,j} q_{ij} \xi_i \xi_j$ 为 $\mathbf{R}^n$ 上的二次形式，使得 $q_{ij} \leqslant 0$ 对应 $i \neq j$。假设 $\{1, 2, \ldots, n\}$ 中不存在划分 $I \cup J$，使得 $q_{ij} = 0$ 对应 $i \in I, j \in J$。那么形式是非简并且为正的当且仅当存在 $\zeta_1 > 0, \ldots, \zeta_n > 0$ 使得 $\sum_i \zeta_i q_{ik} = 0$ ($k = 1, \ldots, n$) 。