习题 19, § 4

令 (W, S) 为该图的 Coxeter 系统相应的

!考克塞特图

这是紧双曲线型 (cf. 练习 15) 的系统。该域的元素域$\mathbf{Q}(\sqrt{5})$由……组成形式$B_M$相对于基$(e_s)$属于至子环A的系数为整数超过$\mathbf{Z}$。

a) 令$\sigma$为K到$\mathbf{R}$的嵌入，即映射$\sqrt{5}$到$-\sqrt{5}$。证明形式$B_M$乘以$\sigma$的变换$\sigma(B_M)$是非简并且正的。

b) Let G be the orthogonal group of $B_M$, and let $G_\sigma$ be that of $\sigma(B_M)$. 令$G_A$为元素的G由……组成的子群，其矩阵相对于$(e_s)$的系数在A中。 证明$G_A$可以用$G \times G_\sigma$的离散子群来识别，然后使用a)证明$G_A$是G的离散子群。

c) 证明 W 是有限指标的 G_A 的子群。

d) 证明 Exerc 中其他图的类似结果。 15 (域 Q(\sqrt{5}) 有时被 Q(\sqrt{2}) 取代，但图形除外

!具有两个标记为 4 的节点的图

在 Exerc 中接受治疗。 18、图⁸

!具有两个标记为 4 的节点和一个标记为 5 的节点的图