习题 4, § 4

假设$\mathrm{Card}(S) = 3$。如果$s \in S$，令$a(s) = m(u, v)$，其中$\{u, v\} = S - \{s\}$。让$A = \sum_{s \in S} 1/a(s)$。

a) 如果$A > 1$，证明$B_M$是非简并且正的（在这种情况下$W$是有限的）。

b) 如果$A = 1$，证明$B_M$是简并且正的。

c) 如果$A < 1$，证明$B_M$是非简并的并且具有签名$(2, 1)$（cf.代数，第IX, § 7, no. 2章）。

证明，在情况 a) 中，$W$ 的阶 $q$ 由公式 $q = 4/(A - 1)$ 给出（使用 § 3 的练习 5）。