习题 17, § 1

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李群与李代数, VI

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令 $R$ 为约化根系，且 $B$ 基等于 $R$ 。对于 $B$ 的任何子集 $J$ ，令 $W_J$ 为由 $\alpha \in J$ 的反射 $s_\alpha$ 生成的 $W(R)$ 的子群，并令 $w_J$ 为 $W_J$ 的最长元素。令 $\Phi$ 为 $w_J$ 中的集合。

a) 证明元素 $w \in W(R)$ 属于到 $\Phi$ 当且仅当

W(B) \subseteq R_+(B) \cup (-B).

（为了证明条件是足够的，用

\alpha \in B

的

J_1

集合表示，使得

w(\alpha) \in -B

并放入

J = -w(J_1)

。如果

\alpha \in J_1

，

w(\alpha) \in -J

和

w_J w(\alpha) \in B

；

如果 $\alpha \in B - J_1$ ， $w_J w(\alpha) \in R_+$ ：否则 $w(\alpha)$ 将为正， $w_J w(\alpha)$ 为负，这意味着 $w(\alpha)$ 属于对于 $\beta \in J$ 生成的子系统， $\alpha$ 属于对于 $\beta \in J_1$ 生成的子系统，这是荒谬的。推出 $w_J w = 1.$

解答

尚未写出解答。

被以下引用

无。

引用了

无。