习题 20, § 1

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李群与李代数, VI

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

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设 $(\alpha_1, \ldots, \alpha_l)$ 是不可约约化根系 $R$ 的基。令 $r$ 和 $p$ 为两个整数，以及 $p \geq 2$ ，这样：

(\alpha_1|\alpha_1) = \cdots = (\alpha_r|\alpha_r) = p.(\alpha_{r+1}|\alpha_{r+1}) = \cdots = p.(\alpha_l|\alpha_l).

a) 设 $\alpha = c_1 \alpha_1 + \cdots + c_l \alpha_l$ 为根。证明 $(\alpha|\alpha) = (\alpha_1|\alpha_1)$ （在其他字中， $\alpha$ 是长根）当且仅当 $p$ 除 $c_{r+1} \ldots c_l$ 。

b) 令 $h$ 为 $W(R)$ 的 Coxeter 数。证明 $R$ 中最长（或最短）根的数等于 $hr$ （或 $h(l-r)$ ）。

解答

尚未写出解答。

被以下引用

无。

引用了

无。