习题 24, § 1

我们保留前面的习题的记号和假设。

a) 令$p \in P(R)$，并令$W.p$为$W$下$p$的轨道。证明以下条件是等价的：

（一）$S(p) = W.p$。

(ii) 对于所有$\alpha \in R$，$\langle p, \alpha^\vee \rangle = 0, 1$ 或$-1$。

（如果 (ii) 不满足，则构造元素$q \in S(p)$使得$(q|q) < (p|p)$，因此$q \notin W.p$。）

b) 令$X$为$P(R)$的非空饱和子集。证明上述 (i) 和 (ii) $X$ 包含元素 $p$ 满足条件。 （取$p$为最小长度的$X$中的元素。）

c) 假设 $R$ 是不可约的。令$C$为$R$的一个室，令$B = \{\alpha_i\}_{i \in I}$为相应的基，并令

为 $R$ 的最高根。令$J$为$i \in I$的集合，使得$n_i = 1$。让$p \neq 0$成为主导权。证明 a) 的条件 (i) 和 (ii) 等价于以下条件：

² 这个迄今为止尚未发表的习题是由 R. Steinberg 传达给我们的。

（三）$\langle p, \gamma^* \rangle = 1$。

(iv) 存在$i \in J$，使得$p$等于相应的基本权。

权$p$满足这些条件被称为*微小*。证明 $P(R)$ 包含 0 或极小权的每个非空饱和子集。