习题 9, § 1

设$R$为根系，$C$为一个房间。把$B(C) = \{\alpha_1, \ldots, \alpha_l\}$，

（$\alpha_i$ 成对不同）和$\alpha = \alpha_1 + \cdots + \alpha_s$。

a) 对于$i = 1, 2, \ldots, s$，输入$\varepsilon_i = \pm 1$。让$\alpha^* = \varepsilon_1 \alpha_1 + \cdots + \varepsilon_s \alpha_s$。如果$(\alpha^*|\alpha_i) > 0$代表$i = 1, \ldots, l$，则$\alpha^* = \alpha$和$\varepsilon_i = 1$代表所有$i$。 （令$\gamma$（或$\delta$）为$\alpha_i$的和，其中$\varepsilon_i = 1$（或$-1$）。然后，$(\gamma|\alpha_i) - (\delta|\alpha_i) > 0$，$(\gamma|\alpha_i) + (\delta|\alpha_i) = (\alpha_i|\alpha_i)$，所以

因为$2(\gamma|\alpha_i)/(\alpha_i|\alpha_i) \in \mathbf{Z}$、$(\gamma|\alpha_i) \geq (\alpha_i|\alpha_i) = (\alpha|\alpha_i)$，所以$\gamma - \alpha \in \overline{C}$、$\gamma \geq \alpha$、$\gamma = \alpha$ 和 $\delta = 0$。

b) 对于$i = 1, 2, \ldots, s$，设$\varepsilon_i = \pm 1$。当且仅当 $\alpha^* = \sum_i \varepsilon_i \alpha_i$ 属于相对于腔室时，$\varepsilon_i \alpha_i$ 的集合是根 $> 0$ 的集合。 （为了证明条件是充分的，让$\mu_i = \pm 1$满足$(\alpha^*|\mu_i \alpha_i) > 0$。存在元素$w \in W(R)$，$\mu_i \alpha_i$的变换集合进入$\alpha_i$的集合，因此$\alpha^*$ 变为 $\alpha^{**} = \sum_i \varepsilon_i \mu_i \alpha_{\sigma(i)}$，其中 $\sigma \in S_s$。 应用 a)，证明 $\alpha^{**} = \alpha$，因此 $\mu_i \varepsilon_i = 1$。）