习题 4, § 4

设$R$为$V$中的不可约约化根系。 $(\alpha_1, \ldots, \alpha_l)$基共$R$、$\tilde{\alpha}$最高根。把$\tilde{\alpha} = n_1 \alpha_1 + \cdots + n_l \alpha_l$。我们将得到确定 $R$ 的最大闭合、对称子集，与 $R$ 不同。

a) 设 $i \in \{1, 2, \ldots, l\}$。令$R_i$为$\alpha \in R$的集合，即$j \neq i$的$\alpha_j$的线性组合。证明 $R_i$ 最大当且仅当 $n_i = 1$。

(1) M. Kneser 证明，有限经典群之间的所有“例外同构”都可以通过使用类似的方法来获得。比照。 Über die Ausnahme-Isomorphismen zwischen klassischen Gruppen，Hamburger Abh.，卷。 XXXI（1967），p. 136-140。

b) 令$i \in \{1, 2, \ldots, l\}$ 并假设$n_i > 1$。令$S_i$为根$\sum_{j=1}^l m_j \alpha_j$与$m_i \equiv 0 \pmod{n_i}$的集合。证明 $S_i$ 最大当且仅当 $n_i$ 是素数。 （如果$n_i = ab$与$a > 1, b > 1$，考虑根$\sum_j m_j \alpha_j$的$R$由……组成与$m_i \equiv 0 \pmod{a}$的子集$S'$，并证明$S'$严格为包含 $S_i$。）显示 $S_i$ 的根 $-\tilde{\alpha}, \alpha_j \ (j \neq i)$ 形式基（秩 $l$）。推导出 $S_i$ 的 Dynkin 图。

c) $R$ 的每个最大闭对称子集都被 $W(R)$ 的元素变换为 $a$ 或 $b$ 中描述的子集之一。 （令$\Sigma$为子集。然后$\Sigma = R \cap H$，其中$H$是有限指标的$Q(R)$的子群（$§ 1$，练习6 b））；我们可以假设$Q(R)/H$是循环的。那么存在$u^* \in V^*$使得$\Sigma$是$\alpha \in R$的集合使得$\langle u^*, \alpha \rangle \in \mathbf{Z}$。

d) 列出不可约约化根系的不同型的 $R$ 的最大、闭合、对称子集。