习题 10, § 1

假设$k$具有特征$p >0$。用$\mathfrak{g}$李代数、基、$\{e_1, e_2, e_3\}$、$[e_1, e_2] =e_3,[e_1, e_3] = [e_2, e_3] = 0$表示。

a) 证明$U\mathfrak{g}$中的中心是$k[e^p_1, e^p_2, e_3]$。

b) 假设 $k$ 是代数闭的。证明，对于所有 $(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)\in k^3$，存在（最多等价）唯一的不可约表示 $\rho$ $\mathfrak{g}$

$^6$ 欲了解更多详情，cf. H. ZASSENHAUS，Hamb 的 Über Liesche Ringe mit Primzahlcharakteristik。 Abh.，卷。 XIII (1939)，第 1-100 页，以及 Darstellungstheorie nilpotter Lie-Ringe bei Charakteristik $p >0$，Crelle’s J.，卷。 CLXXXII（1940），第 150-155 页。这样$\lambda_i$是$\rho (e_i) (i= 1,2,3)$唯一的特征值；如果$\lambda_3\not= 0$，则$\rho$的次数为$p$，如果$\lambda_3= 0$则为1。 （应用练习 8 和 9，或者直接争论。）