习题 3, § 1

我们用 no. 2 制作假设。假设$k$无穷大且满足条件(AC)。设$k'$是$k$的完美扩张。设$\lambda : S\rightarrow k$使得$V^{\lambda}(S)\not= 0$。放

令 $r': S'\rightarrow$ End(V$'$) 为从 $r$ 通过标量扩张获得的线性映射。存在唯一的映射$\lambda ': S'\rightarrow k'$使得$V^{\lambda}(S)\otimes_kk'=$${V'}^{\lambda'}(S')$。 （约化对于$V = V^{\lambda}(S)$的情况。令P为S上的多项式函数，并且$k$除暗V的特征指数的$q$幂，使得$\lambda^q= P$。令$P'$为多项式函数 $S'$ 其中扩展 P。对于每个$s'\in S'$，都存在一个$\lambda '(s')\in k'$使得$\lambda '(s')^q= P'(s')$。证明$r'(s')$的特征多项式是$(X-\lambda '(s'))^{dim V}.$）