习题 6, § 1

记号是 Exerc 的。第 12 章I, §3。特别地，$\mathfrak{g}$是李代数，M是$\mathfrak{g}$模，$H^p(\mathfrak{g},M) = Z^p(\mathfrak{g},M)/B^p(\mathfrak{g},M)$是$\mathfrak{g}$的次数$p$的上同调空间，M中的值。

a) 证明$B^p(\mathfrak{g},M)$和$Z^p(\mathfrak{g},M)$在上链$C^p(\mathfrak{g},M)$的空间上$\mathfrak{g}$的自然表示$\theta$下是稳定的。由此可见，$H^p(\mathfrak{g},M)$上有$\mathfrak{g}$的表示。证明这个表示是微不足道的（使用公式 $\theta =di+id$，前述）。

b) 设$\overline{k}$为$k$的代数闭包。令$x\in \mathfrak{g}$和$x_M$为M的相应的自同态。令$\lambda_1, . . . , \lambda_n$（分别为$\mu_1, . . . , \mu_m$）为ad$_{\mathfrak{g}}x$（分别为$x_M$）的特征值（在$k$中），根据它们重复重数。证明自同态的特征值 $C^p(\mathfrak{g},M)$ 的 $\theta (x)$ 是 $\mu_j-(\lambda_{i_1}+\cdots +\lambda_{i_p})$，其中 $1\leq j\leq m$ 和

如果 $\mu_j-(\lambda_{i_1}+\cdots +\lambda_{i_p})$ 都不为零，则使用 a) 推断出 $H^p(\mathfrak{g},M) = 0$。

c) 假设表示$\mathfrak{g}\rightarrow$End(M)是忠实的，并且$x$满足条件：

对于所有$j_1, . . . , j_p, k_1, . . . , k_{p+1}\in 1, m$。

证明我们有$H^p(\mathfrak{g},M) = 0$（注，ad$_{\mathfrak{g}}x$的特征值$\lambda_i$是形式$\mu_j-\mu_k$，并应用$b$）$)$。

$^3$ 这个证明是 G. SELIGMAN 传达给我们的。