习题 9, § 1

我们保留前面的习题的记号，并进一步假设$\mathfrak{g}$是幂零的。

a) 表明可以选择基 $(e_1, . . . , e_n)$，使得对于任何对 $(i, j)$，$[e_i, e_j]$ 是$h >$sup($i, j$) 的$e_h$ 的线性组合。 从现在开始假设$e_i$满足这个条件。 对于$p$的$i= 1, . . . , n$选择幂$q(i)$，使得ad($e_i$)$^{q(i)}= 0$，并把$z_i=e_i^{q(i)},A =k[z_1, . . . , z_n]$，cf.Exerc。 8. b) 设$\rho :\mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{g}\mathfrak{l}(V)$为$\mathfrak{g}$的线性表示。 假设$\rho (e_i)$对于$i= 1, . . . , n$是幂零的。 证明 $\rho (x)$ 对于所有 $x\in \mathfrak{g}$ 都是幂零的。 （通过$n=$昏暗$\mathfrak{g}$和约化上的归纳论证$\rho$不可约的情况。 证明，在本例中，$\rho (e_n) = 0$ 并应用归纳假设。）

c) 令$\rho_1:\mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{g}\mathfrak{l}(V_1)$和$\rho_2:\mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{g}\mathfrak{l}(V_2)$为$\mathfrak{g}$中的两个线性表示。假设$V_1$和$V_2$是$\not= 0$，$V_1= V^{\lambda_1}(\mathfrak{g}),V_2= V^{\lambda_2}(\mathfrak{g})$，其中$\lambda_1$和$\lambda_2$是$\mathfrak{g}$、cf.no. 3上的两个函数。证明，如果 $i= 1, . . . , n$ 为 $\lambda_1(e_i) =\lambda_2(e_i)$，则 $\lambda_1=\lambda_2$ 并且存在从 $V_1$ 到 $V_2$ 的非零 $\mathfrak{g}$ 同态（应用 $b$）到 $\mathfrak{g}$-模 $V =\mathscr{L}(V_1,V_2)$ 并使用恩格尔定理显示 V 包含非零 $\mathfrak{g}$ 不变元素）。推断如果加法、$V_1$和$V_2$是简单的，则它们是同构的。

d) 假设 $k$ 是代数闭的。设R为$\mathfrak{g}$不可约表示等价类集合。如果$\rho \in R$，则将

其中$x_{\rho}(i)$是$\rho (e_i)$唯一的特征值。证明从 R 到 $k^n$ $\rho \rightarrow x_{\rho}$ 是双射。 （内射性来自 $c$），满射性来自 Exerc。 $8d).)$ 推导出以下推论：

(i) 对于 A 的任何最大理想 $\mathfrak{m}$，$U/\mathfrak{m}U$ 与其根式的商为矩阵代数。

(ii) $\mathfrak{g}$ 的任何不可约表示的次数是 $p$ 的幂（这源自 (i) 以及 $[U/\mathfrak{m}U :k]$ 是 $p$ 的幂）。

(iii) Every homomorphism from A to $k$ extends uniquely to a homomorphism from C to $k$ (use the fact that $C/\mathfrak{m}C$ is contained in the centre of $U/\mathfrak{m}U$, which is a local $k$-algebra with residue field $k$).

(iv) 存在整数 $N\geq 0$，使得 $x^{p^N}\in A$ 对于所有 $x\in C$（这源自 (iii)）。$^6$