习题 6, § 1

如果E是有限维$\mathfrak{s}$模，并且$n$整数，则用$H_E$相对于特征值$n$的特征空间$a_n$维数表示。用$c_E(T) =\sum_{n\in\mathbf{Z}}a_nT^n$定义的$\mathbf{Z}[T,T^{-1}]$的$c_E(T)$元素表示。

a) 定义 $L_m$ 如 Exerc 中所示。 5. 证明

每整数 $m\geq 0$ 变暗 $L_m=a_m-a_{m+2}$。

推出$c_E(T) =c_{E'}(T)$当且仅当E和$E'$同构的。使用 Exerc 恢复此结果。第 13 章$18e)$ VII, §3。

b) 证明 $c_{E\oplus F}=c_E+c_F$ 和 $c_{E\otimes F}=c_E.c_F$。

c) 我们有 $c_{V(m)}(T) = (T^{m+1}-T^{-m-1})/(T-T^{-1})$。 d) 从a)、b)、c)推出，如果$m\geq m'\geq 0$，则$\mathfrak{s}$模$V(m)\otimes V(m')$同构于

如果$m\geq 0$，则$\mathfrak{s}$模块$S^2V(m)$同构于

并且 $\mathfrak{s}$-模块 $\Lambda^2V(m)$ 同构于