习题 5, § 10

假设$\mathfrak{g}$是可分割的。如果$\mathfrak{h}$是$\mathfrak{g}$的分裂嘉当子代数，则用$e^{adx},x\in \mathfrak{g}^{\alpha}(\mathfrak{h})$、$\alpha \in R(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$、cf.生成的Aut$_e(\mathfrak{g})$的$E(\mathfrak{h})$子群表示。 VII, §3, no. 2。 a) 设$\mathfrak{b}$为$\mathfrak{g}$包含$\mathfrak{h}$中的博雷尔子代数，并令$\mathfrak{h}_1$为$\mathfrak{b}$中的嘉当子代数。证明 $\mathfrak{h}_1$ 是共轭到 $\mathfrak{h}$ by 元素 of $E(\mathfrak{h})$。推导出$E(\mathfrak{h}) = E(\mathfrak{h}_1)$。

b) 设$\mathfrak{h}'$为$\mathfrak{g}$的分裂嘉当子代数。显示$E(\mathfrak{g}) = E(\mathfrak{h}')$。 （如果 $\mathfrak{b}'$ 是博雷尔子代数包含 $\mathfrak{h}'$、$\mathfrak{b}\cap \mathfrak{b}'$ 的选择嘉当子代数 $\mathfrak{h}_1$ 并应用 $a$）以显示 $E(\mathfrak{h}) = E(\mathfrak{h}_1) = E(\mathfrak{h}').)$

c) 设 $x$ 为 $\mathfrak{g}$ 中的幂零元。显示$e^{adx}\in E(\mathfrak{h})$。 （使用$b$）和Cor。 2 Th。 1到约化到$x\in [\mathfrak{b},\mathfrak{b}].)$的情况推导出$E(\mathfrak{h}) =$Aut$_e(\mathfrak{g})$。