习题 12, § 11

假设$\mathfrak{g}$是半单。令 $x\in \mathfrak{g}$ 并令 $s$（或 $n$）为 $x$ 的半单（或幂零）分量。令$\mathfrak{a}_x$（或$\mathfrak{a}_s$）为$\mathfrak{g}$中$x$（或$s$）的交换子。

a) 证明$n$是半单代数$\mathscr{D}(\mathfrak{a}_s)$的幂零元，且$\mathfrak{a}_s$中$n$的交换子等于$\mathfrak{a}_x$。如果$n\not= 0$，即如果$x$不是半单，则推断出dim$\mathfrak{a}_x<$dim $\mathfrak{a}_s$。

b) 证明dim$\mathfrak{a}_x=$ rk($\mathfrak{g}$)当且仅当$n$是$\mathscr{D}(\mathfrak{a}_s)$的主体幂零元。

c) 让 G = Aut$_e(\mathfrak{g})$。证明，对于所有 $\lambda \in k$，存在 $\sigma_{\lambda}\in G$ 使得 $\sigma_{\lambda}x=s+\lambda^2n$。 （证明，如果$n\not= 0$，$\mathfrak{a}_s$中存在一个$\mathfrak{s}\mathfrak{l}_2$三元组，其第一个分量是$n$，并推导出同态$\varphi :\mathbf{S}\mathbf{L}(2, k)\rightarrow G$；在合适的对角线$\varphi$下取$\sigma_{\lambda}$为像 $\mathbf{S}\mathbf{L}(2, k).$的元素) 将$s$属于推导到Zariski拓扑中$G.x$的闭包。

d) 证明，如果$x$不是半单，则$x$不会属于到Zariski拓扑中$G.s$的闭包（使用不等式dim$\mathfrak{a}_x<$dim$\mathfrak{a}_s$、cf. $a$）$)$。

$^{20}$有关习题 6 到 11 的更多详细信息，请参阅：B. KOSTANT，主要三维子群和复杂简单李群的 Betti 数，

阿米尔。 J.数学，卷。 LXXXI（1959），第 973-1032 页。 e) 假设 $k$ 是代数封闭的。证明等价以下性质：

(i) $x$ 为半单；

(ii) Zariski 拓扑 $G.x$ 于$\mathfrak{g}$ 关闭。

（蕴涵 (ii) $=\Rightarrow$ (i) 由 $c$ 得出）。如果满足(i)，并且如果$x'$在$G.x$的闭包中，则Exerc。 §8的15表明$x'$属于的半单分量$s'$到$G.x$，所以$x'$属于到$G.s'$的闭包； 结论由应用 d) 至 $x'$ 和 $s'.)$

f) 假设 $k$ 是代数闭的。令$F_x$为元素$y\in \mathfrak{g}$的集合，使得$f(x) =f(y)$对于$\mathfrak{g}$上的每个不变量多项式函数$f$；我们有$y\in F_x$当且仅当$y$的半单分量与$s($§8G共轭，Exerc。 17）。证明$F_x$是G的轨道的有限数的并，并且这个数是$\leq 3^{l(x)}$，其中$l(x)$是$\mathscr{D}(\mathfrak{a}_s)$的秩。只有轨道之一是关闭的：$s$； $F_x:$、元素$y\in F_x$中只有由……组成开放，使得$\mathfrak{a}_y=$rk($\mathfrak{g}$)暗淡。