习题 15, § 11

假设$\mathfrak{g}$是半单。

a) 设$x$为$\mathfrak{g}$的幂零元。证明 $x$ 包含在 Im(ad $x$)$^2$ 中（使用命题 2）。推断 (ad $x$)$^2= 0$ 蕴含 $x= 0$。

b) 令$(x, h, y)$为$\mathfrak{g}$中的$\mathfrak{s}\mathfrak{l}_2$三元组，并令$\mathfrak{s}=kx\oplus kh\oplus ky$。证明以下条件的等价：

(i) Im(ad $x$)$^2=k.x$；

(ii) $\mathfrak{s}$-模$\mathfrak{g}/\mathfrak{s}$是维数1或2的单模中的和；

(iii) ad$_{\mathfrak{g}}h$中唯一与0、1和$-1$不同的特征值是2和$-2$，并且它们的重数等于1。

c) 假设 $\mathfrak{g}$ 是可分割简单的。令$\mathfrak{h}$为$R(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$的$\mathfrak{g}, B$基的分裂嘉当子代数，以及$R(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$相对于B的$\gamma$最高根。令$(x, h, y)$为$\mathfrak{s}\mathfrak{l}_2$-三元组，使得$h\in \mathfrak{h}_{\mathbf{Q}}$和$\alpha (h)\geq 0$对于所有$\alpha \in B$（cf.提案5）。证明当且仅当 $h=H_{\gamma}$ 时，满足 b) 的条件 (i)、(ii)、(iii)，在这种情况下$x\in \mathfrak{g}^{\gamma}$ 和 $y\in \mathfrak{g}^{-\gamma}$。

d) 保留c)的假设，并设G = Aut$_0(\mathfrak{g})$。证明 $\mathfrak{s}\mathfrak{l}_2$ 三元组满足 (i)、(ii) 和 (iii) 是 G 共轭（使用练习 10）。证明，如果 $x$ 是 $\mathfrak{g}$ 满足 (i) 的非零幂零元，则 Zariski 拓扑中$G.x$ 的闭包等于 $\{0\} \cup G.x$。