习题 10, § 13

记号是no. 4.IV、型 $D_l(l\geq 2)$。

a) 令$x$和$y$为$\bigwedge^lV$的元素，定义为

$x=e_1\wedge \cdots \wedge e_{l-1}\wedge e_l$和$y=e_1\wedge \cdots \wedge e_{l-1}\wedge e_{-l}$。

元素 $x$ 是权 $2\varpi_l$ 的原语，$y$ 是权 $2\varpi_{l-1}$ 的原语。由$x$（或$y$）生成的$\bigwedge^lV$的子模X（或Y）与$E(2\varpi_l)$（或$E(2\varpi_{l-1})$）同构的。通过计算维数，得出$\bigwedge^lV =$$X\oplus Y$；特别地，$\bigwedge^lV$是两个非同构单模的和。 b) 令$\Psi$到$\bigwedge^lV$中的$e=e_1\wedge \cdots \wedge e_l\wedge e_{-1}\wedge \cdots \wedge e_{-l}\in \bigwedge^{2l}V$和$\Psi_l$扩张。让$z\in \bigwedge^lV$。证明等价：

$z\in X\Leftarrow \Rightarrow z\wedge t=\Psi_l(z, t)e$ 所有人 $t\in \bigwedge^lV$

$z\in Y\Leftarrow \Rightarrow z\wedge t=-\Psi_l(z, t)e$ 对于所有$t\in \bigwedge^lV$。

（如果$X'$和$Y'$表示由右边定义的子空间，首先证明$X'$和$Y'$分别在$\mathfrak{g}$和包含、$x$和$y$下稳定。） c) 假设$z$是纯的（代数，第III, §11, no. 13章），并用$M_z$表示与其关联的V的$l$维子空间。证明 $M_z$ 是完全各向同性的当且仅当 $z$ 属于到 X 或到 Y。（使用这样的事实，当 $M_z$ 是完全各向同性时，存在变换到 $M_x$ 的正交变换；当 $M_z$ 不是完全各向同性时各向同性，构造一个$l$向量$t$，使得$z\wedge t= 0, \Psi_l(z, t) = 1$，并应用上面的b)。）当$z\in X$（或$z\in Y$）时，$M_x/(M_x\cap M_z)$的维数是偶数（或奇数）整数， cf.代数，第 1 章IX, §6，锻炼。 $18d)$。

d) 令 $s$ 为 V 的正（或逆）相似度。证明 $\bigwedge^ls$ 使 X 和 Y 保持稳定（分别交换 X 和 Y）。