习题 18, § 13

令 V 为有限维向量空间，Q 为 V 上的非简并二次函数形式，$\Psi$ 与 Q 相关的对称双线性形式。用 $\mathfrak{g}$ 和扩张表示李代数 $\mathfrak{o}(\Psi )$ $\Psi$ 到 $\bigwedge^2(V)$ $\Psi_2$。

a) 证明存在向量空间 $\theta :\bigwedge^2(V)\rightarrow \mathfrak{g}$ 的同构，具有以下等价性质：

$^{22}$有关习题 16 和 17 的更多详细信息，请参阅：N. JACOBSON，李代数，Interscience Publ。 （1962），第一章。 X 和 G. B. SELIGMAN，模块化李代数，

Springer-Verlag (1967), Chap. IV。

(i) 对于V中的$a, b$和$x$，我们有$\theta (a\wedge b).x=a.\Psi (x, b)-b.\Psi (x, a)$。

(ii) 对于V中的$x, y$和$\bigwedge^2(V)$中的$u$，我们有$\Psi_2(x\wedge y, u) =\Psi (x, \theta (u).y)$。

设$\sigma$为$\mathfrak{g}$在V上的恒等式表示；那么$\theta$是$\bigwedge^2(V)$的同构以及$\mathfrak{g}$的伴随表示。

b) 定义线性映射 $f:\mathfrak{g}\rightarrow C^+(Q)$ 如引理 1 或no. 2。证明V中的$a, b$有$f \theta (a\wedge b) =\frac{1}{2}(ab-ba)$，并推导出no. 2的引理1的断言(iii)、(iv)和(v)的新证明。

c) 记号 $l,F,F', e_0,N, \lambda$ 和$\rho$ 是no. 2 的那些。 N 上 $\bigwedge(F')$ 中的选择 $e\not= 0$ 和定义双线性形式 $\Phi$

证明 N 中的 $x, y$ 为 $\Phi (\lambda (a).x, y) +\Phi (x, \lambda (a).y) = 0$，$F\oplus F'$ 中的 $a$。推导出$\Phi$在$\mathfrak{g}$的表示$\rho$下是不变的（注李代数$\rho (\mathfrak{g})$是由$\lambda (F\oplus F')$和$a$生成）和上面的b）。