习题 1, § 2

令 $\mathfrak{g}$ 为维数 3 的简单李代数，$\Phi$ 为 Killing 形式（cf. §1，练习 15, 16, 17）。

a) 元素 $x\in \mathfrak{g}$ 是正则当且仅当$\Phi (x, x)\not= 0$。令$\mathfrak{h}_x=kx$是由这样的元素生成的嘉当子代数。证明$\mathfrak{h}_x$ 是分裂当且仅当$2\Phi (x, x)$ 在$k$ 中是平方。

b) 表明

$\mathfrak{g}$ 可拆分 $\Leftarrow \Rightarrow \mathfrak{g}$ 与 $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k)$ 同构的。