习题 7, § 2

假设$k$是有序域。令$(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$为秩$l$中的分裂的半单李代数；把$\mathfrak{g}=l+ 2m$调暗。

a) 证明$\mathfrak{g}$的杀戮形式$\Phi$是秩$2m$的中性形式和秩$l$的正非简并形式的直和；特别是，它的指标是$m$。

b) 令$\varphi$为$\mathfrak{g}$的对合自同构，其限制到$\mathfrak{h}$为$-$Id。显示形式

$^{10}$有关该判别式的显式计算，请参阅：T. A. SPRINGER 和 R.

STEINBERG，共轭类 (no. 4.8)，代数研讨会群和

相关有限群，Lect。数学注。 131，施普林格出版社（1970）。

是对称的、非简并的、正的。

c) 设$k=k(\overline{\alpha})$，其中$\alpha$是$k$中的元素$<0$。用 $c$ 表示 $k'$ 的非平凡 $k$ 自同构。令 $\mathfrak{g}_c$ 为由元素 $y$ 形成的 $\mathfrak{g}_{(k')}=k'\otimes_k\mathfrak{g}$ 的 $k$ 子空间，使得

证明$\mathfrak{g}_c$是$\mathfrak{g}_{(k')}$的$k$-谎言子代数，并且$\mathfrak{g}_c$的单射从$\surd k'\otimes_k\mathfrak{g}_c$到$\mathfrak{g}_{(k')}$进入$\mathfrak{g}_{(k')}$扩展到同构。 代数 $\mathfrak{g}_c$ 是半单，$\alpha \mathfrak{h}$ 是嘉当子代数。

d) 证明$\mathfrak{g}_c$的杀戮形式为负。推断 $\mathfrak{g}_c$ 不可分割（除非 $\mathfrak{g}= 0$）。

e) 当$k=\mathbf{R}$时，证明Int($\mathfrak{g}_c$)是紧的。