习题 8, § 2

a) 设$\mathfrak{g}$为李代数且$n$整数$\geq 0$。令$\Sigma_n(\mathfrak{g})$为$(x_1, . . . , x_n)$族的$\mathfrak{g}^n$由……组成的子集，生成$\mathfrak{g}$作为$k$代数。显示 $\Sigma_n(\mathfrak{g})$ 在 Zariski 拓扑的 $\mathfrak{g}^n$ 中打开（第 VII 章，应用程序 I）。如果$k'$是$k$的扩张，则$\Sigma_n(\mathfrak{g}_{(k')})\cap \mathfrak{g}^n=\Sigma_n(\mathfrak{g})$。由此推论，如果$n$元素可以生成$\mathfrak{g}_{(k')}$，那么$\mathfrak{g}$也可以。

b) 设$(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$为分裂的半单李代数。令$x$为$\mathfrak{h}$的元素，使得$\alpha (x)\not= 0$适用于所有$\alpha \in R$，$\alpha (x)\not=\beta (x)$适用于不同元素$\alpha , \beta \in R$的任何对。对于所有$\alpha \in R$，令$y_{\alpha}$为$\mathfrak{g}^{\alpha}$的非零元素，并令$y=\sum_{\alpha\in R}y_{\alpha}$。证明，对于所有 $\alpha \in R$，存在一个多项式 $P_{\alpha}(T)\in k[T]$，没有常数项，使得 $y_{\alpha}= P_{\alpha}$(ad $x$)$.y$。推出$\mathfrak{g}$是由$\{x, y\}$生成的。

c) 通过a)和b)表明，每个半单李代数可以由两个元素生成。