习题 8, § 3

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李群与李代数, VIII, 230

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R 的选择基，因此集合为正根 $R_+$ 。假设 R 是不可约的。令 $\widetilde{\alpha}$ 为最高根，根的S集合与 $\widetilde{\alpha}$ 正交，以及 $S_+= S\cap R_+$ 。

a）让

\mathfrak{g}'=\mathfrak{g}^S\oplus \mathfrak{h}_S,\mathfrak{m}_+=\sum_{\alpha\in S_+}\mathfrak{g}^{\alpha},\mathfrak{m}_-=\sum_{\alpha\in S_+}\mathfrak{g}^{-\alpha}

那么 $\mathfrak{g}'$ 就是半单和 $\mathfrak{g}'=\mathfrak{h}_S\oplus \mathfrak{m}_+\oplus \mathfrak{m}_-$ 。

b）放置：

\mathfrak{n}_+=\sum\mathfrak{g}^{\alpha},\mathfrak{p}=\sum\mathfrak{g}^{\alpha},\mathfrak{p}_0=\sum\mathfrak{g}^{\alpha}

\alpha \in R_+\alpha \in R_+-S_+\alpha \in R_+-S_+-\{\widetilde{\alpha}\}

然后

\mathfrak{n}_+=\mathfrak{m}_+\oplus \mathfrak{p},[\mathfrak{m}_+,\mathfrak{p}_0]\subset \mathfrak{p}_0,[\mathfrak{n}_+,\mathfrak{g}^{\widetilde{\alpha}}] = 0

特别地， $\mathfrak{p}$ 是 $\mathfrak{n}_+$ 的理想。

c) 对于所有 $\alpha \in R_+$ -- $S_+$ -- $\{\widetilde{\alpha}\}$ ，存在唯一的 $\alpha '\in R_+$ -- $S_+$ -- $\{\widetilde{\alpha}\}$ ，使得 $\alpha +\alpha '= \widetilde{\alpha}$ 。对于所有 $\alpha \in R_+$ -- $S_+$ -- $\{\widetilde{\alpha}\}$ ，可以选择 $\mathfrak{g}^{\alpha}$ 的非零元素 $X_{\alpha}$ ，以便

$[X_{\alpha}, X_{\alpha'}] =\pm X_{\widetilde{\alpha}}$ 如果 $\alpha \in R_+-S_+- \{\widetilde{\alpha}\}$

$[X_{\alpha}, X_{\beta}] = 0$ 如果 $\alpha , \beta \in R_+-S_+, \beta \not=\alpha '.^{11}$

解答

尚未写出解答。

被以下引用

无。

引用了

无。