习题 1, § 4

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李群与李代数, VIII, 231

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保留 no. 2 中的记号。让 $\lambda \in k^B$ 。与向量空间 E 中的任意 $\alpha \in B$ 自同态 $X_{-\alpha}^{\lambda}, H_{\alpha}^{\lambda}, X_{\alpha}^{\lambda}$ 关联，使得

X_{-\alpha}^{\lambda}(\alpha_1, . . . , \alpha_n) = (\alpha , \alpha_1, . . . , \alpha_n)

H_{\alpha}^{\lambda}(\alpha_1, . . . , \alpha_n) = (\lambda (\alpha )-\sum_{i=1}^nn(\alpha_i, \alpha ))(\alpha_1, . . . , \alpha_n)

向量 $X_{\alpha}^{\lambda}(\alpha_1, . . . , \alpha_n)$ 由归纳在 $n$ 上由公式定义

X_{\alpha}^{\lambda}(\alpha_1, . . . , \alpha_n) = (X_{-\alpha_1}^{\alpha}X_{\alpha}^{\lambda}-\delta_{\alpha ,\alpha_1}H_{\alpha}^{\lambda})(\alpha_2, . . . , \alpha_n)

其中 $\delta_{\alpha ,\alpha_1}$ 是克罗内克符号；我们同意，如果 $(\alpha_1, . . . , \alpha_n)$ 是空的字，那么 $X_{\alpha}^{\lambda}(\alpha_1, . . . , \alpha_n)$ 就是零。

证明引理 1 和 2 对于这些自同态仍然成立。因此我们得到表示 $\rho_{\lambda}:\mathfrak{a}\rightarrow \mathfrak{g}\mathfrak{l}(E)$ 这样

\rho_{\lambda}(x_{\alpha}) =X_{\alpha}^{\lambda}, \rho_{\lambda}(h_{\alpha}) =H_{\alpha}^{\lambda}, \rho_{\lambda}(x_{-\alpha}) =X_{-\alpha}^{\lambda}

解答

尚未写出解答。

被以下引用

无。