习题 2, § 4

保留 no. 3 中的记号。令$\mathfrak{m}$为$\mathfrak{a}$的理想。

a) 令 $\alpha$ 和 $\beta$ 为 B 的两个不同的元素。假设对于 N 足够大，(ad $x_{\alpha}$)$^Nx_{\beta}$ 属于到 $\mathfrak{m}$。证明$x_{\alpha \beta}\in \mathfrak{m}$。 （将§1, no. 2的结果应用到$\mathfrak{a}/\mathfrak{m}$，并提供合适的$\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k$）模块结构。）

b) 证明$\mathfrak{n}+\theta \mathfrak{n}$ 是$\mathfrak{a}$ 的最小的有限余维理想。证明这也是最小的理想包含 (ad $x_{\alpha}$)$^4x_{\beta}$ 和 (ad $x_{-\alpha}$)$^4x_{-\beta}$。