习题 5, § 4

a) 令$\mathfrak{g}$为简单的李代数，$k_1$为$\mathfrak{g}$的伴随表示的交换子。证明$k_1$是交换域，$k$的有限扩张，并且$\mathfrak{g}$是绝对简单的$k_1$李代数。

相反，如果$k_1$是$k$的有限扩张，并且$\mathfrak{g}$是绝对简单的$k_1$-李代数，则$\mathfrak{g}$是简单的$k$-李代数，并且其伴随物表示的交换子可以标识为$k_1$。

b) 设$k'$为$k$包含$k_1$中的伽罗瓦扩张。证明$\mathfrak{g}_{(k')}$绝对是$[k_1:k]$的乘积单代数。当$\mathfrak{g}_{(k')}$为分裂的时，这些代数是互同构的。 （使用练习 4。）