习题 11, § 5

当记号为no. 2时，假设$k$是非离散且局部紧致的，因此同构于$\mathbf{R},\mathbf{C}$或$\mathbf{Q}_p($交换代数的有限扩张，第1章。 VI, §9, no. 3）。对于所有 $n\geq 1$，商 $k^*/k^{*n}$ 是有限的（cf. 交换代数，第 VI, §9 章，练习 3 对于超度量情况）。推断商 $T_Q/$Im(T$_P$) 和 Aut($\mathfrak{g}$)$/$Aut$_e(\mathfrak{g})$ 是有限的。

当$k=\mathbf{R}$时，证明$T_Q/$Im(T$_P$)同构于$\mathbf{F}_2$向量空间$(Q\cap 2P)/2Q$的对偶。当$k=\mathbf{C}$时，我们有$T_Q=$ Im(T$_P$)；这是李群 Aut($\mathfrak{g}$) 与李代数 $\mathfrak{h}$ 的积分子群。