习题 13, § 5

令 $(\mathfrak{g},\mathfrak{h},B,(X_{\alpha})_{\alpha\in B})$ 为框架半单李代数，$(\mathfrak{g},\mathfrak{h}),\Delta$ 相应的 Dynkin 图的 R 根系，以及 $\Phi$ 子群

$^{13}$有关习题的更多详细信息，请参阅：J. TITS, Normalisateurs de tores。 I。 群

de Coxeter étendus，J. Alg.，卷。 IV（1966），第 96-116 页。

自动（R$,B$）$=$自动（$\Delta$）。

如果 $s\in \Phi$、扩展 $s$ 到 $\mathfrak{g}$ 的自同构乘以条件

$s(X_{\alpha}) =X_{s\alpha}$ 和 $s(H_{\alpha}) =H_{s\alpha}$ 适用于所有 $\alpha \in B$、cf. 提案$.1$。

因此我们认同 $\Phi$ 和 Aut($\mathfrak{g},\mathfrak{h}$) 的子群；表示为$\Phi$下元素不变的$\widetilde{\mathfrak{g}}$（$\widetilde{\mathfrak{h}}$）子代数（$\mathfrak{g}$（$\mathfrak{h}$）由……组成）。

a) 设$\alpha \in B$，并设$X =\Phi .\alpha$。通过使用第 1 章中的板进行展示。 VI，只有两种情况可能：

(i) 与$\alpha$不同的X中的每个元素都与$\alpha$正交；

(ii) X-- $\{\alpha \}$存在不与$\alpha$正交的唯一元素$\alpha '$，以及$n(\alpha , \alpha ') =n(\alpha ', \alpha ) =-1$。

b) 令$i$为限制映射$\mathfrak{h}^*\rightarrow \widetilde{\mathfrak{h}}^*$，并令$\widetilde{B} =i(B)$； 映射 $B\rightarrow \widetilde{B}$ 将 $\widetilde{B}$ 与 $B/\Phi$ 识别。证明$\widetilde{\mathfrak{g}}$是半单李代数，$\widetilde{\mathfrak{h}}$是分裂嘉当子代数，$\widetilde{B}$是$R(\widetilde{\mathfrak{g}},\widetilde{\mathfrak{h}})$的基。 （观察$\widetilde{B}$包含在$R(\widetilde{\mathfrak{g}},\widetilde{\mathfrak{h}})$中，并且$R(\widetilde{\mathfrak{g}},\widetilde{\mathfrak{h}})$的每个元素都是$\widetilde{B}$的元素的线性组合，并且整数系数具有相同的符号。）如果$\widetilde{\alpha}\in \widetilde{B}$，相应的逆根 $H_{\widetilde{\alpha}}\in \widetilde{\mathfrak{h}}$ 由下式给出

$H_{\widetilde{\alpha}}=\sum_{i(\alpha)=\widetilde{\alpha}}H_{\alpha}$ 情况 (i) a)

$H_{\widetilde{\alpha}}= 2\sum_{i(\alpha)=\widetilde{\alpha}}H_{\alpha}$ 在a)的情况(ii)中，

其中元素 $\alpha \in B$ 的总和使得$i(\alpha ) = \widetilde{\alpha}$。如果$\beta \in B$有像$\widetilde{\beta}\in \widetilde{B}$，那么

$n( \widetilde{\beta ,}\widetilde{\alpha}) =\sum_{i(\alpha)=\widetilde{\alpha}}n(\beta , \alpha )$ 情况 (i)

$n( \widetilde{\beta ,}\widetilde{\alpha}) = 2\sum_{i(\alpha)=\widetilde{\alpha}}n(\beta , \alpha )$ 在情况 (ii) 中。

从对$(\Delta , \Phi )$开始推导$R(\widetilde{\mathfrak{g}},\widetilde{\mathfrak{h}})$的Dynkin图是如何确定的。

c) 证明，如果 $\mathfrak{g}$ 是简单的，那么 $\widetilde{\mathfrak{g}}$ 也是简单的。

If $\mathfrak{g}$ is of type $A_l,l\geq 2$, and $\Phi$ is of order 2, then $\widetilde{\mathfrak{g}}$ is of type $B_{l/2}$ if $l$ is even, and of type $C_{(l+1)/2}$ if $l$ is odd.

如果$\mathfrak{g}$是型$D_l,l\geq 4$，$\Phi$是阶2，那么$\widetilde{\mathfrak{g}}$是型$B_{l-1}$。

如果 $\mathfrak{g}$ 属于型 $D_4$，$\Phi$ 属于阶 3 或 6，则 $\widetilde{\mathfrak{g}}$ 属于型 $G_2$。

如果$\mathfrak{g}$是型$E_6$，$\Phi$是阶2，那么$\widetilde{\mathfrak{g}}$是型$F_4$。