习题 16, § 7

令 V 和 $V'$ 为两个 $\mathfrak{g}$ 模块。如果存在线性映射 $f: V\rightarrow V'$，则称$V'$从属于V，使得：

$\alpha )f$ 是满射； V的原语元素在$f$下的$\beta )$像要么是0，要么$V';\gamma )f$的原语元素是$\mathfrak{n}_-$同态。

a) 令 $f: V\rightarrow V'$ 满足 $\alpha ),\beta ),\gamma )$。令 $v$ 为 V 的原语元素。那么$v$生成的$\mathfrak{g}$子模块的$f$下的像就是$f(v)$生成的$\mathfrak{g}$子模块。

b) 令 $f: V\rightarrow V'$ 满足 $\alpha ),\beta ),\gamma )$。令 W 为 V 的 $\mathfrak{g}$ 子模。那么$f(W)$是$V'$的$\mathfrak{g}$子模块，从属于W。

c) 设$V = E_1\oplus \cdots \oplus E_s$和$V'= E'_1\oplus \cdots E'_{s'}$为V的分解和$V'$化为单模的和。那么$V'$从属于V当且仅当$s'\leq s$并且存在$\sigma \in \mathfrak{S}_s$使得$E'_i$对于$i= 1, . . . , s'$从属于$E_{\sigma(i)}$。

d) 如果$V'$从属于V并且如果V是简单的，则$V'$是简单的或减少到0。

e) 假设 V 和 $V'$ 是简单的。让$\lambda$和$\lambda '$成为他们的最高权。那么$V'$从属于V当且仅当$\lambda '(H_{\alpha})\leq \lambda (H_{\alpha})$对于所有$\alpha \in B$。 （为了充分性，请使用前面的习题。）