习题 24, § 7

设 A 为其有限二维双面理想的单位结合代数和 M 集合。

a) 设 $U^*$ 为向量空间 U 的对偶。如果 $\theta \in U^*$，则显示等价具有以下性质：

(i) 存在$\mathfrak{m}\in M$使得$\theta (\mathfrak{m}) = 0$；

(ii) $U^*$ 的元素存在两个有限族 $(\theta '_i)$ 和 $(\theta ''_i)$，使得

$\theta (xy) =\sum_i\theta '_i(x)\theta ''_i(y)$ 对于所有 $x, y\in U$。

元素$\theta$具有$U^*$的形式子空间$U'$，其中重合在代数中由$B'$表示，第1章。 III, §11，锻炼。 27. $U'$上存在唯一的余代数结构，其余积$c: U'\rightarrow U'\otimes U'$由下式给出

其中 $\theta '_i, \theta ''_i\in U'$ 使得 $\theta (xy) =\sum_i\theta '_i(x)\theta ''_i(y)$ 对于所有 $x, y\in U$、cf. (ii)。

余代数$U'$是递增经过子空间$(U/\mathfrak{m})^*,\mathfrak{m}\in M$过滤后的并，它们是有限维的。 $U'$的对偶可以与代数$\widehat{U} =$lim$_{\leftarrow -}U/\mathfrak{m}$识别；如果$\widehat{U}$由$U/\mathfrak{m},\mathfrak{m}\in M$上离散拓扑的射影极限给出，则$\widehat{U}$上的连续线性形式由$U'$的元素给出。

b) 令 E 为有限维左 U 模。 湮没子$\mathfrak{m}_E$属于到M；复合 $\widehat{U}\rightarrow U/\mathfrak{m}_E\rightarrow$ End(E) 给出左 $\widehat{U}$ 模块的 E 结构。如果 F 是有限维左 U 模，则线性映射 $f: E\rightarrow F$ 是 U 同态当且仅当它是 $\widehat{U}$ 同态。如果 $a\in E, b\in E^*$、线性形式 $\theta_{a,b}:x \rightarrow \langle xa, b\rangle$ 属于至 $U'$，并且

$\langle x, \theta_{a,b}\rangle =\langle xa, b\rangle$ 对于所有$x\in \widehat{U}$。

$\theta_{a,b}$（对于变化的$E, a, b$）生成$k$向量空间$U'$。 c) 设 $X_U$ 为有限维左 U 模的同构类中的集合。对于所有$E\in X_U$，令$u_E$是E的$k$线性自同态；假设

$f\circ u_E=u_F\circ f$ 适用于所有 $E,F\in X_U$ 和 $f\in$ Hom$_U(E,F)$。

证明存在唯一元素 $x\in \widehat{U}$，使得 $x_E=u_E$ 对于所有 $E\in X_U$。 （约化对于U是有限维的情况。）