Bourbaki

习题 27, § 7

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李群与李代数, VIII, 250

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

让Ω=P/Q\Omega = P/Q。如果ω∈Ω\omega \in \Omega，并且如果E是g\mathfrak{g}模，则用EλE^{\lambda}的EωE_{\omega}直和表示，对于λ∈ω\lambda \in \omega。我们有E=⨁ω∈ΩEωE =\bigoplus_{\omega\in\Omega}E_{\omega}。

a) 证明EωE_{\omega}是E的g\mathfrak{g}子模。我们有(E∗)ω=(E−ω)∗(E^*)_{\omega}= (E_{-\omega})^*并且

(E⊗F)ω=⨁α+β=ωEα⊗Fβ (E\otimes F)_{\omega}=\bigoplus_{\alpha+\beta=\omega}E_{\alpha}\otimes F_{\beta}

如果 F 是另一个 g\mathfrak{g}-模。

b) 设 χ∈\chi \in Hom(Ω,k∗\Omega , k^*) == Ker(TP→TQ_P\rightarrow T_Q)。 认同χ\chi和f:G→f: G\rightarrowe(g)_e(\mathfrak{g})核元素，cf.锻炼。 26e)26e)。证明EωE_{\omega}上χ\chi的运算是位似与χ(ω)\chi (\omega )的比率。

c) g=sl(2,k)\mathfrak{g}=\mathfrak{s}\mathfrak{l}(2, k) 时，EωE_{\omega} 是什么？

解答

尚未写出解答。

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无。

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