习题 8, § 7

设$\mathfrak{g}$为半单李代数；例外的是，在这个习题中，我们不假设$\mathfrak{g}$是分裂的。令 $\overline{k}$ 为 $k$ 的代数闭包并让

$\pi :$加仑($\overline{k}/k$)$\rightarrow$奥特($\overline{R},\overline{B}$)

同态在§5 中定义，Exerc。 8. 让Gal($\overline{k}/k$)通过$\pi$，相对于$\overline{B}$，操作$\overline{R}$的主导权的集合$\overline{P}_{++}$；设$\Omega$为商$\overline{P}_{++}/$Gal($\overline{k}/k$)的元素的代表系统。

a) 输入$\overline{\mathfrak{g}}= \overline{k}\otimes_k\mathfrak{g}$。如果 I 是 $\overline{P}_{++}$ 的有限子集在 Gal($\overline{k}/k$) 下稳定，则与 I (cf. 练习 7) 相关的 $U(\overline{\mathfrak{g}})$ 的双边理想 $\overline{\mathfrak{m}}_I$ 为形式 $\overline{k}\otimes_k\mathfrak{m}_I$，其中$\mathfrak{m}_I$是$U(\mathfrak{g})$的双面理想。证明 $U(\mathfrak{g})$ 或有限余维的每个双面理想都以这种方式恰好获得一次。

b) 设$\omega \in \Omega , I(\omega )$为Gal($\overline{k}/k$)下的轨道，以及$\omega$下的$G_{\omega}$稳定子；令$k_{\omega}$为$\overline{k}$相应的到$G_{\omega}$的伽罗瓦理论子推广。证明$U(\mathfrak{g})/\mathfrak{m}_{I(\omega)}$是单代数，而中心与$k_{\omega}$同构的。 $U(\mathfrak{g})$ 的每个双面理想 $\mathfrak{m}$ 使得 $U(\mathfrak{g})/\mathfrak{m}$ 是有限维单代数恰好等于 $\mathfrak{m}_{I(\omega)}$ 之一。

c) 群 Gal($\overline{k}/k$)经$\pi$在环$R(\overline{\mathfrak{g}})$运营；表示为 Gal($\overline{k}/k$) 下元素的$R(\overline{\mathfrak{g}})$ 由……组成的$R(\overline{\mathfrak{g}})^{inv}$ 子环不变。证明从$R(\mathfrak{g})$到$R(\overline{\mathfrak{g}})^{inv}$，映射$[E]\rightarrow [\overline{k}\otimes_kE]$扩展到单同态，其中余核是挠元群；这是同构当且仅当，对于所有 $\omega \in \Omega , U(\mathfrak{g})/\mathfrak{m}_{I(\omega)}$ 是矩阵的代数超过 $k_{\omega}$；表明当 $\mathfrak{g}$ 有博雷尔子代数时就是这种情况。 $^{14}$

$^{14}$有关习题的更多详细信息，请参阅：J. TITS, Représentations linéaires irréductibles d’un groupe réductif sur un corps quelconque, J. für die reine und angewandte Math。卷。 CCXLVII（1971），第 196-220 页。