习题 8, § 8

将 $l=$ rk($\mathfrak{g}$)$,N =$ 调暗($\mathfrak{g}$)。如果$x\in \mathfrak{g}$、定义$a_i(x), 0\leq i\leq N$，则公式

det(T + ad $x$) $=\sum_{i=0}^NT^{N-i}a_i(x)$。

由此定义函数$a_i$是次数$i$的齐次多项式，并且在Aut($\mathfrak{g}$)下不变。如果$x\in \mathfrak{h}$和$i\leq N-l,a_i(x)$是$\alpha (x),\alpha \in R$的第$i$初等对称函数；特别是$a_{N-l}(x) =\prod_{\alpha\in R}\alpha (x)$。

构造例，其中 $a_i$ 不存在多项式函数的生成代数在 Aut($\mathfrak{g}$) 下的 $\mathfrak{g}$ 不变式。