习题 14, § 11

a) 令$X$为局部紧凑且局部连通的空间，并令$A$为$X$的闭子集。令$A^*$为$A$的并和相对紧凑的$CA$的分量。如果$A^* = A$则称$A$已满。证明 $A^*$ 是闭合且满的。

b) 假设在加法中$X$是连通的。证明如果 $A$ 是 $X$ 的紧致子集，则 $A^*$ 是紧致的（考虑 $A$ 的紧致邻域 $V$ 以及满足 $V$ 边界的 $CA$ 的分量）。

c) 假设在加法中$X$是连通的并且$\sigma$是紧的。证明存在全连接紧集的递增、序列、$(K_n)_{n \geq 0}$，其并为$X$，并且对于所有$n$，$K_n \subset K_{n+1}$。

d) 如果我们仅假设 $X$ 是连通且局部紧的，或者 $X$ 是 Hausdorff、连通且局部连通，则表明 b) 的结论不再有效。 [考虑子空间 / $\mathbf{R}^2$ 由……组成 / 点 $(x, y)$，使得$y = 0$和$0 \leq x \leq 1$，或者$y > 0$和$x = 1/n$，其中$n$是整数 $> 0$].