Bài tập 14, § 11

a) Cho $X$ là một không gian compact địa phương và liên thông địa phương, và cho $A$ là một tập con đóng của $X$. Gọi $A^*$ là hợp của $A$ và các thành phần của $CA$ là compact tương đối. Ta nói $A$ là đầy đủ nếu $A^* = A$. Chứng minh rằng $A^*$ là đóng và đầy đủ.

b) Giả sử thêm rằng $X$ là liên thông. Chứng minh rằng nếu $A$ là một tập con compact của $X$, thì $A^*$ là compact (xét một lân cận compact $V$ của $A$ và các thành phần của $CA$ giao với biên của $V$).

c) Giả sử thêm rằng $X$ là liên thông và $\sigma$-compact. Chứng minh rằng tồn tại một dãy tăng $(K_n)_{n \geq 0}$ gồm các tập hợp compact liên thông đầy đủ mà hợp của chúng là $X$ và sao cho $K_n \subset K_{n+1}$ với mọi $n$.

d) Chứng minh rằng kết luận của b) không còn đúng nếu ta chỉ giả sử rằng $X$ là liên thông và compact địa phương, hoặc rằng $X$ là Hausdorff, liên thông và liên thông địa phương. [Xét không gian con của $\mathbf{R}^2$ gồm các điểm $(x, y)$ sao cho hoặc $y = 0$ và $0 \leq x \leq 1$, hoặc $y > 0$ và $x = 1/n$ với $n$ là một số nguyên $> 0$].