Exercice 14, § 11

a) Soit $X$ un espace localement compact et localement connexe, et soit $A$ une partie fermée de $X$. Soit $A^*$ la réunion de $A$ et des composantes connexes de $\mathscr{C}A$ qui sont relativement compactes. On dit que $A$ est plein si $A^* = A$. Montrer que $A^*$ est fermé et plein.

b) On suppose en outre $X$ connexe. Montrer que si $A$ est une partie compacte de $X$, $A^*$ est compact (considérer un voisinage compact $V$ de $A$ et les composantes connexes de $\mathscr{C}A$ rencontrant la frontière de $V$).

c) On suppose en outre $X$ connexe et dénombrable à l’infini. Montrer qu’il existe une suite croissante $(K_n)_{n \geqslant 0}$ d’ensembles compacts, connexes et pleins, dont la réunion est $X$ et qui sont tels que $K_n \subset \dot{K}_{n+1}$ pour tout $n$.

d) Montrer que la conclusion de b) n’est plus valable lorsqu’on suppose seulement, soit que X est connexe et localement compact, soit que X est séparé, connexe et localement connexe. (Considérer dans $\mathbf{R}^2$, le sous-espace formé des $(x, y)$ tels que $y = 0, 0 \leq x \leq 1$ ou $x = 1/n$ ($n$ entier $\geq 1$) et $y > 0$).