习题 21, § 11

a) 证明以下条件在拓扑空间$X$上是等价的： (i) 对于$X$中的每个开集合$U$，$\overline{U}$是开的； (ii) 对于 $X$ 中每个闭合的集合 $F$，$\dot{F}$ 都是闭合的； (iii) 对于 $X$ 中的开放集合 $U, V$ 的每个不相交的对，我们有 $\overline{U} \cap \overline{V} = \varnothing$。满足这些条件的 Hausdorff 空间被称为“极度断开”；然后它就完全断开了。 有理线完全断开，但不是极端断开。

b) Hausdorff 空间是极端断开的，当且仅当关联的半正则空间 ($§ 8$, 习题 20) 是极端断开的。

c) 令$X$为Hausdorff空间，并令$A$为$X$的稠密子集。证明如果 $A$ 是极端断开的，并且如果 $X$ 的拓扑是 A 极大（$§ 3$，习题 11），则 $X$ 是极端断开的。

d) 从b)和c)推出，如果$X$是任何无限集合，则$X$的（紧凑）超滤器空间极度断开（cf.$§ 9$、习题26和24）（**）。

e) 令 $X$ 为 Hausdorff 空间，没有孤立的点。证明 $X$ 的拓扑是准最大 ($§ 2$, 习题 6) 当且仅当 $X$ 是

() 这个条件相当于$Y - X$完全断开的说（章II、$§ 4$、no. 4、命题6）。 (*) 对于无隔离点的极端断开紧凑型空间的例，请参阅章 II、$§ 4$、习题 12 b)。

次最大（§ 8，习题22）和极端断开。 （为了证明条件是足够的，使用§ 8的习题22 e）并证明$X$的每个闭子集且没有孤立的点都是开的）。

f) 证明每个超正则空间 (§ 8, 习题 25) 都是极不连通的，但是没有孤立点的极不连通紧凑空间不是超正则 (cf. § 9, 习题) 27）。

g) 证明极端断开的半正则空间 (§ 8, 习题 20) 是正则 (cf. 章 II, § 4, 习题 12)。

h) 证明在极端断开的空间中，不存在收敛的序列，它具有不同项的无限数 [通过递归地构造相互不相交的开放集合的两个序列 $(U_n), (V_n)$ 进行矛盾论证，使得如果$U = \bigcup_n U_n$ 和$V = \bigcup_n V_n$，然后$U \cap V = \emptyset$ 但$\overline{U} \cap \overline{V} \neq \emptyset$]。

i) 证明在极端断开的空间 $X$ 中，非隔离点 $a$ 不能具有同时打开和关闭邻域的基本系统，这是良序的（相对于关系 $\supset$）。 （使用反证法，如 h 中）。