习题 11, § 2

如果拓扑空间是两个稠密子集的不相交的并，则称其是可解的。

a) 如果拓扑空间 $X$ 可解，则证明 $X$ 没有孤立的点并且 $X$ 的每个开子空间都是可解的。还反过来证明，如果$X$是拓扑空间并且$\mathfrak{B}$是$X$的非空可解开子空间的集合，使得$X$包含的每个非空开子集集合属于到$\mathfrak{B}$，那么$X$是可解的（考虑不相交的互开集合属于到$\mathfrak{B}$的最大集合）。

b) 如果柯尔莫戈洛夫空间$X$可解，则$X$的每个非空开子集都是无限的[使用§ 1的习题2d)]。

c) 令$X$为拓扑空间，使得1) $X$的非空开子集的最小的基数$\mathfrak{d}$是无限的，并且2) 拓扑有基$\mathfrak{B}$ $X$使得$\mathrm{card}(\mathfrak{B}) \leq \mathfrak{d}$。证明 $X$ 可解。 （使用超限归纳到构造两个不相交的密集子集或$X$）。按集合理论的方法、章 III, § 6、习题 24 a)。特别是，有理线是可解的。

d) 如果$\mathrm{card}(U) = \mathrm{card}(X)$对于$X$的每个非空开子集，则没有孤立点的拓扑空间$X$被称为等差。证明在没有孤立的点的空间$X$中，$X$包含中的每个非空开集合都有一个等差的非空开子空间。推论如果$X$的每个等差开子空间可溶，则$X$可溶。